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単回帰分析の基本（公式まとめ）

QC検定

単回帰分析について、基本式を整理と、問題に対する解き方の流れを

書いておきたいと思います。

お題

特性 $x$ と、特性 $y$ の $n$ 組のデータについて、関係性を示したい。

目的変数 $y$ 、説明変数 $x$ としたら、回帰式は

$y=\beta_0 +\beta_1 x$

で表される。この回帰式の係数（回帰母数）を求めていきます。

何はともあれ、平方和を求めなければ始まりません。

$S_{xx}=\displaystyle \sum_{i=0}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=0}^n x_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i=0}^n x_i)^2$ =( $x$ それぞれの二乗の総和)－ $\displaystyle \frac{1}{n}$ ( $x$ のすべての総和の二乗)

$S_{yy}=\displaystyle \sum_{i=0}^n (y_i-\bar{y})^2=\sum_{i=0}^n y_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i=0}^n y_i)^2$

$S_{xy}=\displaystyle \sum_{i=0}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum_{i=0}^n x_iy_i-\frac{1}{n}(\sum_{i=0}^n x_i)(\sum_{i=0}^n y_i)$

問題に平方和が与えられていなければ、電卓でゴリゴリ計算していきましょう。

電卓をすばやく、正確に打ち込むには慣れがいると思いますので、

マイ電卓を用意して、ある程度練習することをお勧めします。

そして回帰式の係数（回帰母数）である $\beta_0,\beta_1$ を算出します。

一次関数の傾きにあたる $\beta_1$ の $\hat{\beta_1}$ は、

$\displaystyle \hat{\beta_1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$

一次関数の切片にあたる $\beta_0$ の $\hat{\beta_0}$ は、回帰式が、

$\bar{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\bar{x}$ が成立することから、

$\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$

を計算することで求まる。

標本相関係数： $r=\displaystyle \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

⇒－１～＋１までの値をとって、１に近ければ右肩上がりの直線状に分布し、

　強い正の相関がある。－１に近いければ、右下がりの直線状に分布しており、

　強い負の相関があるという。

寄与度：[tex: \displaystyle R^2=r^2 ( = \frac{S_R}{S_T}=\frac{\frac{S_{xy}^2}{S_{ss}}}{S_{yy}})]

⇒０～１の範囲の値をとり、回帰式にどの程度の意味があるかを表す尺度。

＜無相関の検定をする場合＞

検定統計量： $t_0=\displaystyle \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$

棄却域： $t_0 \ge t(n-2,\alpha)$

＜分散分析する場合＞

$S_R=\displaystyle \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}$ （単回帰ならば必ず１）

$S_T=S_{yy}$

$\phi_R=1\\ \phi_T=n-1\\ \phi_e=\phi_T-\phi_R=\phi_T-1$

これくらい流れを知っていたら、だいたい解けるんじゃなかなと思います。