検出力と誤りの種類の整理 - 口下手エンジニアの悪あがき

帰無仮説、対立仮説、検出力、第一種の誤り、第二種の誤り。

それらの関係について、しっかり理解されてますか？

複雑で頭がこんがらがってしまいます・・・

ちょっと図に描いてみて整理してみましょう。

f:id:ganbaru_engineer:20190809004410p:plain

図から、たとえば、
例１）変化を加えた後の集団からサンプリングした結果、

　　　平均値が $\overline{x_1}$ となった場合、

　　　 $\mu$ は本来 $H_1$ であるにもかかわらず、 $H_0$ であると

　　　誤った判断を下してしまっている。

　　　→第二種の誤り（ぼんやりものの誤り）を起こしてしまった。

　　　　発生する確率は $/beta$

例２）変化を加えた後の集団からサンプリングした結果、

　　　平均値が $\overline{x_2}$ となった場合、

　　　 $\mu$ は本来 $H_1$ であるものを、 $H_0$ であると

　　　正しく判断を下している。

　　　→検出力 $(1-\beta)$ の確率で正しく判断できた！！

　　　→こういう正しい判断をする検定でなくてはならない！！

＜関係する公式＞

図の $x$ 軸の幅から、

$\mu-\mu_0=K_{\alpha}\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}}+K_{\beta}\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}}$

⇒ $\mu-\mu_0=(K_{\alpha}+K_{\beta})\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}}$

⇒ $n=(\displaystyle \frac{\sigma}{\mu-\mu_0})^2(K_{\alpha}+K_{\beta})^2$

この式から、検出力をいくつ以上にするためには、サンプリング数を

いくつ以上にすればよいか？と問われることが多い。

例）優位水準 $\alpha=0.05,\mu-\mu_0=2.0,\sigma=2.0$ であるとき、

　　検出力 $(1-\beta)=0.9$ 以上となるようにサンプリング数を求めよ。

　→ $K_{\alpha}=1.645$

　　 $\beta=1-0.9=0.1 より、K_{\beta}=1.282 だから$

　　 $n=(\displaystyle (\frac{2.0}{2.0})^2(1.645+1.282)^2=8.57$

　　つまり、サンプリング個数は９個以上必要である！

これぐらいで整理になりましたでしょうか？