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確率変数の期待値と分散（公式まとめ）

QC検定

公式を整理していきます。

 

期待値

確率変数の期待値とは、確率変数の平均。

E(X)=\mu

 

期待値の性質

  • X,Yを確率変数、a,bを定数とすると、
  • E(aX+b)=aE(X)+b
  • E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
  • E(XY)=E(X)E(Y) ただし、XとYは独立

分散

分布のばらつきを表す指標。

V(X)=V=\sigma^2

 

分散の性質

  • V(X)=E\{(X-\mu)^2\}=E(X^2)-\mu^2=\sigma
  • V(a)=0
  • V(aX)=a^2V(X)
  • V(aX+b)=a^2V(X)
  • V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\it{Cov}\rm{(X,Y)} 
  • ただし、XとYが互いに独立な場合は、\it{Cov}\rm{(X,Y)=0}だから、

         V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)

  

標準偏差

D(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{E\{(X-\mu)^2\}}=\sigma

 

共分散

２つの確率変数の関係性を表す量として、共分散\it{Cov}\rm{(X,Y)}がある。

 

共分散の性質

  • \it{Cov}\rm{(aX,bY)=ab}\it{Cov}\rm{(X,Y)}
  • \it{Cov}\rm{(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)}
  • \it{Cov}\rm{(X,Y)=E\{(X-\mu_x)(Y-\mu_y)\}=E(XY)-\mu_x\mu_y}
  • また、２つの確率変数の関係性を表すため、相関係数\rhoとの相性が良い。

         \displaystyle \rho_{(X,Y)}=\frac{\it{Cov}\rm{(X,Y)}}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}

V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\it{Cov}\rm{(X,Y)}

               =a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\rho(X,Y)\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)} 

 

頑張ってお覚えましょう。

でも、公式を眺めているだけではダメです、実際に問題と向き合って、繰り返し問題を解いて使っていけば自然と覚えていきます。訓練です。