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正規分布の基礎（QC検定３級レベル）

QC検定

ＱＣ検定３級に出てくる基本的な確率分布として、正規分布についてまとめています。

1.正規分布
2.正規分布の標準化
3.標準正規分布への変換式

1.正規分布

母平均 $\mu$ と母分散 $\sigma^2$ によって規定される母平均 $\mu$ を中心とした左右対称の分布 $N(\mu,\sigma^2)$ と表す。

中心 $\mu$ からプラス方向、マイナス方向に標準偏差 $\sigma$ の範囲を取ると、そこに含まれる確率は約68.3％となる。 $\pm 2\sigma$ であれば約95.4％、 $\pm3\sigma$ であれば約99.7％となる。

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2.正規分布の標準化

単に正規分布のデータをグラフ化しただけでは、分布の問題に対処するときに非常に扱い難いです。なぜなら、測定したデータによって「母平均 $\mu$ 」「母分散 $\sigma^2$ 」が異なるから、グラフの形も数値によってそれぞれ違った形になってしまいます。

それを考えやすくするために、どんな $\mu$ 、 $\sigma^2$ のグラフであっても同じグラフの形に変換してしまおう、というのが標準化です。

具体的には、 $\mu=0$ 、 $\sigma^2=1^2$ に変換します。つまり、

$N(0,1^2)$ の正規分布に変換してしまうのです。

そうすると何が嬉しいかというと、正規分布の確率分布が、「 $\pm\sigma$ のとき約68.3％になりますよ、とか、 $\pm2\sigma^2$ のとき約95.4％になりますよ」とかいう $\sigma^2$ の数字が「1」で良くなるんです。

さらに中心は「0」を考えればいい。

そして、それらの確率分布は「標準正規分布表」という一覧表にまとまっており、それを読み取れば、どんな範囲であろうがひと目で確率分布を知ることができるのです！

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なんか便利に思えてきませんか？

3.標準正規分布への変換式

元の正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の確率変数 $x$ で、標準化後の標準正規分布 $N(0,1^2)$ の確率変数 $z$ とすると、

$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$

となります。

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